As Leis de Newton

Dinâmica

As leis de Newton

No estudo do movimento, a cinemática, propõe-se descrevê-lo sem se preocupar com as suas causas. Quando nos preocupamos com as causas do movimento, estamos entrando em uma área da mecânica conhecida como dinâmica.

Da dinâmica, temos três leis em que todo o estudo do movimento pode ser resumido. Essas leis são conhecidas como as leis de Newton:

  • Primeira lei de Newton - a lei da inércia
  • Segunda lei de Newton - o princípio fundamental da dinâmica
  • Terceira lei de Newton - a lei da ação e reação

    A primeira lei de Newton descreve o que ocorre com os corpos que estão em equilíbrio. A segunda lei explica o que ocorre quando não há o equilíbrio, e a terceira lei mostra como é o comportamento das forças quando temos dois corpos interagindo entre si.

    Para o entendimento dessas leis, é necessário conhecer alguns conceitos físicos muito importantes, como força e equilíbrio.

    Observe a sua situação nesse exato momento: provavelmente você está sentado em uma cadeira lendo esse texto. Nesse momento existem forças agindo sobre você: elas vêm da cadeira, do chão e de algum outro objeto em que esteja encostado. Observe que, mesmo com a existência dessas forças, você continua parado. Isso ocorre porque elas estão se cancelando. Podemos dizer, portanto, que você se encontra em equilíbrio.

    O repouso não é a única situação de equilíbrio possível. Imagine-se de pé em um ônibus em movimento: se ele acelerar, frear ou fizer uma curva, você pode acabar se desequilibrando e caindo. Mas existe um caso que, mesmo com o ônibus em movimento, não haverá perigo nenhum de você cair. Isso acontecerá caso o ônibus execute um movimento retilíneo e uniforme (em outras palavras, quando ele se movimenta em linha reta e com velocidade constante). Nessa situação, podemos dizer que o ônibus está em equilíbrio.

    Os dois casos exemplificados anteriormente ilustram situações de corpos em equilíbrio. O primeiro mostra o equilíbrio dos corpos em repouso, que é conhecido como equilíbrio estático. O segundo mostra o equilíbrio dos corpos em movimento, que é conhecido como equilíbrio dinâmico. Nos dois casos temos algo em comum que define a situação de equilíbrio, e esse algo em comum é o fato de que todas as forças que estão atuando estarem se anulando. Portanto:

    O equilíbrio ocorre em toda a situação em que as forças atuantes em determinado corpo se cancelam.

    A primeira lei de Newton – a lei da inércia

    Na natureza, todos os corpos apresentam certa resistência a alterações no seu estado de equilíbrio, seja ele estático ou dinâmico. Imagine que você tenha que chutar duas bolas no chão: uma de vôlei e uma de boliche. É claro que a bola de vôlei será chutada com mais facilidade que a de boliche, que apresenta uma maior resistência para sair do lugar. maior tendência em se manter em equilíbrio, ou ainda, apresenta uma maior inércia. Define-se inércia como uma resistência natural dos corpos a alterações no estado de equilíbrio.

    A primeira lei de Newton trata dos corpos em equilíbrio e pode ser enunciada da seguinte forma:

    Quando as forças atuantes em um corpo se anulam, ele permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

    Um objeto que repousa sobre sua mesa, por exemplo, está em equilíbrio estático, e tende a ficar permanecer nessa situação indefinidamente. No caso dos corpos em movimento, podemos imaginar um carro em movimento que freia bruscamente. Os passageiros serão lançado para frente porque tendem a continuar em movimento.

    Força Resultante

    No nosso cotidiano, é impossível encontrar um corpo sobre o qual não existam forças atuando – só o fato de vivermos na Terra já nos submete à força da gravidade. Muitas vezes essas forças se anulam, o que resulta em equilíbro. Em outros casos, a resultante das forças que atuam sobre um corpo é diferente de zero. Quando isso ocorre, o resultado dessas forças é definido como força resultante.

    A determinação de uma força resultante não é algo simples, já que se trata de uma grandeza vetorial. Isso quer dizer que uma força é definida por uma intensidade, uma direção e um sentido. Como a força se trata de uma grandeza vetorial, não podemos determinar a força resultante utilizando a álgebra com que estamos acostumados. É preciso conhecer um processo matemático chamado de soma vetorial.

    A seguir, estão ilustrados os casos mais conhecidos para a determinação da força resultante de duas forças aplicadas em um corpo.

    Caso 1 – Forças com mesma direção e sentido.

    Caso 2 – Forças perpendiculares.

    Caso 3 – Forças com mesma direção e sentidos opostos.

    Caso 4 – Caso Geral – Com base na lei dos Cossenos

    A Segunda lei de Newton

    Quando diversas forças atuam em um corpo e elas não se anulam, é porque existe uma força resultante. E como se comporta um corpo que está sob a ação de uma força resultante? A resposta foi dada por Newton na sua segunda lei do movimento. Ele nos ensinou que, nessas situações, o corpo irá sofrer uma aceleração. Força resultante e aceleração são duas grandezas físicas intimamente ligadas.

    A segunda lei de Newton também nos mostra como força e aceleração se relacionam: essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Isso quer dizer que, se aumentarmos a força, a aceleração irá aumentar na mesma proporção. A relação de proporção entre força e aceleração é mostrada a seguir.

    Onde é o símbolo de proporção. Para que possamos trocar a proporção por uma igualdade, precisamos inserir na equação acima uma constante de proporcionalidade. Essa constante é a massa do corpo em que é aplicada a força resultante. Por isso, a segunda lei de Newton é representada matematicamente pela fórmula:

    A segunda lei de Newton também nos ensina que força resultante e aceleração serão vetores sempre com a mesma direção e sentido.

    Unidades de força e massa no Sistema Internacional.
    Força – newton (N).
    Massa – quilograma (kg).

    A terceira Lei de Newton

    A terceira lei de Newton nos mostra como é a troca de forças quando dois corpos interagem entre si, seja essa interação por contato ou por campo. Segundo a terceira lei, se um corpo faz uma força em outro, imediatamente ele receberá desse outro corpo uma força de igual intensidade, igual direção e sentido oposto à força aplicada, como é mostrado na figura a seguir.

Movimento Vertical – Lançamento Horizontal – Lançamento Oblíquo

Movimento Vertical no Vácuo 
Podemos destacar dois tipos de movimentos verticais no vácuo: a queda livre e o lançamento na vertical. A queda livre é o abandono de um corpo, a partir do repouso, no vácuo desconsiderando-se a ação da resistência do ar; o lançamento na vertical diz respeito ao lançamento de um corpo para cima ou para baixo, o qual, diferente da queda livre, apresentará velocidade inicial.

Os corpos envolvidos nos movimentos verticais estão sujeitos à aceleração da gravidade (g), suposta constante, cujo valor é: g = 9,80665 m/s2. Costuma-se adotar, para a realização de cálculos matemáticos, g = 10 m/s2. Como o valor da aceleração é considerado constante, a queda livre e o lançamento vertical são considerados movimentos retilíneos uniformemente variados (MRUV).

ANÁLISE MATEMÁTICA DO MOVIMENTO VERTICAL 
Estudando as características do movimento vertical, podemos dizer que na queda livre o módulo da velocidade escalar aumenta no decorrer do movimento. Concluímos assim que o movimento, nesse caso, é acelerado. Entretanto, no lançamento para cima, o módulo da velocidade escalar diminui, de modo que o classificamos como retardado.

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Uma importante propriedade do lançamento vertical para cima é o fato de a velocidade do móvel ir decrescendo com o passar do tempo, tornando-se nula quando ele chega ao ponto mais alto da trajetória (altura máxima). Nesse instante, o móvel muda de sentido, passando a cair em movimento acelerado.

Outras considerações que merecem atenção são os sinais da velocidade escalar e da aceleração escalar. Se a orientação da trajetória é para cima, a aceleração escalar é negativa durante todo o movimento (g < 0). Portanto, o que determina se o corpo sobe ou desce é o sinal da velocidade escalar, que na subida é positivo (v > 0) e na descida negativo (v < 0). Por outro lado, se a orientação da trajetória é para baixo, a aceleração é positiva, e o valor da velocidade é negativo na subida (v < 0) e positivo na descida (v > 0).

Observação: As definições sobre o movimento vertical são feitas desconsiderando a resistência do ar.

FUNÇÕES HORÁRIAS DO MOVIMENTO VERTICAL
Como os movimentos verticais são uniformemente variados, as funções horárias que os descrevem são iguais às do MUV. Vejamos no esquema abaixo:

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Observação I: Nas fórmulas acima, v representa a velocidade final, vo, a velocidade inicial. O mesmo se aplica a S (espaço final) e So (espaço inicial).Observação II: Vale ressaltar que “a” = “g”, uma vez que se trata da aceleração da gravidade. O sinal de g, como foi dito acima, independe de o corpo subir ou descer, estabelecendo relação com a orientação da trajetória. Orientação para cima: g é negativo; orientação para baixo: g é positivo.

Lançamento Oblíquo
O lançamento oblíquo é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta particularidade do movimento balístico.

Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade:

“Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.”

Composição de Movimentos.
O lançamento oblíquo estuda o movimento de corpos, lançados com velocidade inicial V0 da superfície da Terra.

Na figura a seguir vemos um exemplo típico de lançamento obliquo realizado por um jogador de golfe.

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A trajetória é parabólica, como você pode notar na figura acima. Como a análise deste movimento não é fácil, é conveniente aplicarmos o princípio da simultaneidade de Galileu. Veremos que ao projetramos o corpo simultaneamente no eixo x e y teremos dois movimentos:

- Em relação a vertical, a projeção da bola executa um movimento de aceleração constante e de módulo igual a g. Trata-se de um M.U.V. (lançamento vertical)

- Em relação a horizontal, a projeção da bola executa um M. U.

Lançamento Horizontal
O lançamento balístico é um exemplo típico de composição de dois movimentos. Galileu notou esta particularidade do movimento balístico.

Esta verificação se traduz no princípio da simultaneidade:

“Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.”

Composição de Movimentos
O princípio da simultaneidade poderá ser verificado no Lançamento Horizontal.

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Um observador no solo, (o que corresponde a nossa posição diante da tela) ao notar a queda do corpo do helicóptero, verá a trajetória indicada na figura. A trajetória traçada pelo corpo, corresponde a um arco de parábola, que poderá ser decomposta em dois movimentos:

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- A projeção horizontal (x) do móvel descreve um Movimento Uniforme.

O vetor velocidade no eixo x se mantém constante, sem alterar a direção, sentido e o módulo.

- A projeção vertical (y) do móvel descreve um movimento uniformemente variado.

O vetor velocidade no eixo y mantém a direção e o sentido porém o módulo aumenta a medida que se aproxima do solo.

Notação Científica

notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. A segredo é multiplicar um numero pequeno por uma potência de 10.

A forma de uma Notação científica é: m . 10 e, onde m significa mantissa e E significa ordem de grandeza. A mantissa SEMPRE será um valor em módulo entre 1 e 10.

Transformando
Para transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:

200 000 000 000 » 2,00 000 000 000

note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, entao em notação cientifica este numero fica: 2 . 1011.

Para com valores muito pequenos, é só mover a virgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza:

0,0000000586 » movendo a virgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 . 10-8

-12.000.000.000.000 » -1,2 . 1013

Vetores

Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por  ou B – A ou .
Um mesmo vetor  é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor  são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de  se indica por || .

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da Soma de vetores

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v – w = (a-c,b-d)

Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:

Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.

Decomposição de vetores em Vetores Unitários

Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.

Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .

Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo ydo plano será: . Este vetor pode ser escrito como:

=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.

No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,

desde que nenhum deles seja nulo.

Velocidade e Velocidade Média

Velocidade

A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.

A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade Média e Velocidade Instantânea. É considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção (Ex.: vertical, horizontal,…) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, …). Porém, para problemas elementares, onde há deslocamento apenas em uma direção, o chamado movimento unidimensional, convém tratá-la como um grandeza escalar (com apenar valor numérico).

As unidades de velocidade comumente adotadas são:

  m/s (metro por segundo);

  km/h (quilômetro por hora);

No Sistema Internacional (S.I.), a unidade padrão de velocidade é o m/s. Por isso, é importante saber efetuar a conversão entre o km/h e o m/s, que é dada pela seguinte relação:

A partir daí, é possível extrair o seguinte fator de conversão:

Velocidade Média

Indica o quão rápido um objeto se desloca em um intervalo de tempo médio e é dada pela seguinte razão:

Onde:

  = Velocidade Média
= Intervalo do deslocamento [posição final – posição inicial ()]
= Intervalo de tempo [tempo final – tempo inicial ()]

Por exemplo:
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem:

  = (posição final) – (posição inicial)
= (300 km) – (0 km)
= 300 km
E que:
= (tempo final) – (tempo inicial)
= (12 h) – (7h)
= 5 h

Então:


Mas, se você quiser saber qual a velocidade em m/s, basta dividir este resultado por 3,6 e terá: